№1. Решить систему по формулам Крамера.
-8х1 – 2х2 – 3х3 = -8
-6х1 + 6х2 + 7х3 = 68
1х1 + 4х2 + 4х3 = 30
-8 -2 -3
D = -6 6 7 = (-8) · 6 · 4 + (-2) · 7 · 1 + (-6) · 4 · (-3) – (-6) · (-2) · 4 – 4 · 7 · (-8) =
1 4 4
= -192 – 14 + 72 + 18 – 48 + 224 = 60 ≠ 0
-8 -2 -3
D1 = 68 6 7 = (-8) · 6 · 4 + (-2) · 7 · 30 + 68 · 4 · (-3) – 68 · (-2) · 4 – 4 · 7 · (-8) =
30 4 4
= -192 – 420 – 816 + 540 + 544 + 224 = -120
-8 -8 -3
D2 = -6 68 7 = (-8) · 68 · 4 + (-8) · 7 · 1 + (-6) · 30 · (-3) – (-6) · (-8) · 4 – 30 · 7 ·
1 30 4
· (-8) = -2176 – 56 + 540 + 204 – 192 + 1680 = 0
-8 -2 -8
D3 = -6 6 68 = (-8) · 6 · 30 + (-2) · 68 · 1 + (-6) · 4 · (-8) – 1 · 6 · (-8) – (-6) · (-2)·
1 4 30
· 30 – 4 · 68 · (-8)= -1440 – 136 + 192 + 48 – 360 + 2176 = 480
X1 = D1/D = -120/60 = -2
X2 = D2/D = 0/60 = 0
X3 = D3/D = 480/60 = 8
Х1 = -2
Ответ: Х2 = 0
Х3 = 8
№2. Вычислить определитель.
-5 1 10 10 -9 7 2 -5 1 10 10
4 -9 0 -7 49 0 -90 -97 49 -90 -97
-1 -7 -8 5 = -36 0 62 75 = а12 А12 = 1 · (-1)1 + 2 · -36 62 75 =
5 -2 11 -4 -5 0 31 16 = -1 -5 31 16 -2 3
34 3 -49 8 3 -6 10 8 3 -6 8 3 -6
- -26 0 43 1 = - -26 0 43 = - -26 0 43 -2 = - -26 0 43 =
-5 31 16 -5 31 16 -85 1 76 -33 1 -10 -3
107 0 24
= - -26 0 43 = -а32 А32 = -1 · (-1)3 + 2 · 107 24 = 107 · 43 – (-26) · 24 =
-33 1 -10 = 1 -26 43
= 5225
Ответ: 5225
№3. Решить системы методом Гаусса.
0х1 + 4х2 – 1х3 + 1х4 = -3
1х1 – 4х2 – 1х3 + 1х4 = -13
1х1 + 3х2 + 3х3 + 2х4 = 7
2х1 – 3х2 – 3х3 + 3х4 = -28
0 4 -1 1 -3 1 -4 -1 1 -13 1 0 -2 2 -16 -1 -2
1 -4 -1 1 -13 ~ 0 4 -1 1 -3 1~ 0 4 -1 1 -3 ~
1 3 3 2 7 1 3 3 2 7 1 3 3 2 7
2 -3 -3 3 -28 2 -3 -3 3 -28 2 -3 -3 3 -28
1 0 -2 2 16 1 0 -2 2 -16 1 0 -2 2 -16
~ 0 4 -1 1 -3 ~ 0 1 0 0 1 3 ~ 0 1 0 0 1 ~
0 3 5 0 23 0 0 6 -1 27 0 0 6 -1 27
0 -3 1 -1 4 1 1 0 -3 1 -1 4 0 0 1 -1 7
1 0 -2 2 -16 1 0 -2 2 -16
~ 0 1 0 0 1 ~ 0 1 0 0 1
0 0 1 -1 7 -6 0 0 1 -1 7
0 0 6 -1 27 0 0 0 5 -15
Расширенная матрица приведёт к следующему виду. Записываем и решаем систему уравнений.
х1 -2х3 + 2х4 = -16 х4 = -3
х2 = 1 х3 = 7 + х4 = 7 – 3 = 4
х3 – х4 = 7 х2 = 1
5х4 = -15 х1 = +6 + 2х3 – 2х4 = -16 + 8 + 6 = -2
х1 = -2
Ответ: х2 = 1
х3 = 4
х4 = -3
-2х1 + 0х2 + 1х3 – 3х4 = 18
5х1 + 0х2 + 0х3 – 4х4 = -7
2х1 + 4х2 – 4х3 – 4х4 = 14
-6х1 + 6х2 – 4х3 – 6х4 = 60
-2 0 1 -3 18 -2 0 1 -3 18 1 2 -2 -2 7 -5 2 3
5 0 0 -4 -7 ~ 5 0 0 -4 -7 ~ 5 0 0 -4 -7 ~
2 4 -4 -4 14 : 2 1 2 -2 -2 7 -2 0 1 -3 18
-6 6 -4 -6 60 : 2 -3 3 -2 -3 30 -3 3 -2 -3 30
1 2 -2 -2 7 1 2 -2 -2 7 1 2 -2 -2 7
~ 0 -10 10 6 -42 : (-2) ~ 0 5 -5 -3 21 ~ 0 1 -2 4 -11 -4 -1 ~
0 4 -3 -7 32 0 4 -3 -7 32 -1-2 0 4 -3 -7 32
0 -9 -8 -9 51 0 9 -8 -9 51 0 1 -2 5 -13
1 2 -2 -2 7
~ 0 1 -2 4 -11
0 0 5 -23 76
0 0 0 1 -2
Расширенная матрица приведёт к следующему виду. Записываем и решаем систему уравнений.
х1 + 2х2 – 2х3 – 2х4 = 7 х4 = -2
х2 – 2х3 + 4х4 = -11 х3 = 1/5 (76 + 23х4) = 1/5 (76 – 46) = 6
5х3 – 23х4 = 76 х2 = 2х3 – 4х4 – 11 = 12 + 8 – 11 = 9
х4 = -2 х1 = 7 – 2х2 + 2х3 + 2х4 = 7 – 18 + 12 – 4 = -3
х4 = -3
Ответ: х2 = 9
х3 = 6
х4 = -2
№4. Найти матрицу Х из уравнения:
3 -5 4 -5 4 -3 -275 61 -217
-6 2 -1* Х * 6 -5 -2 = 311 2 169
0 3 2 -3 -4 -5 48 46 104
Это уравнение вида А Х В = С. Его решение можно записать в виде Х = А-1 С В-1.
3 -5 4 -5 4 -3 -275 61 -217
А = -6 2 -1 В = 6 -5 -2 С = 311 2 169
0 3 2 -3 -4 -5 48 46 104
Вычислим А-1.
3 -5 4
D = -6 2 -1 = 3 · 2 · + (-5) · (-1) ·0 + (-6) · 3 · 4 – 0 · 2 · 4 – (-6) · (-5) · 2 – 3 ·
0 3 2
· (-1) · 3 = 12 + 0 – 72 – 0 – 60 + 9 = 21 – 132 = -111
Вычисляем алгебраические дополнения
А11 = (-1)1+1 2 -1 = 1 · (2 · 2 – 3 · (-1) = 7
3 2
А12 = (-1)1 + 2 -6 -1 = -1 · ((-6) · 2 – 0 · (-1)) = 12
0 2
А13 = (-1)1 + 3 -6 2 = 1 · ((-6) · 3 – 0 · 2) = -18
0 3
А21 = (-1)2 + 1 -5 4 = -1 · ((-5) · 2 – 3 · 4) = 22
3 2
А22 = (-1)2 + 2 3 4 = 1 · (3 · 2 – 0 · 4) = 6
0 2
А23 = (-1)2 + 3 3 -5 = -1 · (3 · 3 – 0 · (-5)) = -9
0 3
А31 = (-1)3 + 1 -5 4 = 1 · ((-5) (-1) – 2 · 4) = -3
2-1
А32 = (-1)3 + 2 3 4 = -1 · (3 · 9-1) – 4 · (-6)) = -21
-6 -1
А33 = (-1)3 + 3 3 -5 = 1 · (3 · 2 – (-6) · (-5)) = -24
-6 2
А11 А21 А13 7 22 -3
Обратная матрица: А-1 = 1/D A12 A22 = -1/111 12 6 -21 =
A13 A33 -18 -9 -24
-7/111 -22/111 -/37
= -4/37 -2/37 7/37
6/37 3/37 8/37
Вычисляем В-1.
-5 4 -3
D = 6 -5 -2 = (-5) · (-5) · (-5) + 4 · (-2) · (-3) + 6 · (-4) · 9-3) – (-3) · (-5) · (-3) –
-3 -4 -5
- 6 · 4 · (-5) – (-4) · (-2) · (-5) = -125 + 24 + 72 + 45 + 120 + 40 = 176
Вычисляем алгебраические дополнения.
А11 = (-1)1+1 -5 -2 = 1 · ((-5) (-5) – (-4) · (-2)) = 17
-4 -5
А12 = (-1)1 + 2 6 -2 = -1 · (6 · (-5) – (-3) · (-2)) = 36
-3 -5
А13 = (-1)1 + 36 -5 = 1 · (6 · (-4) – (-3) · (-5)) = -39
-3 -4
А21 = (-1)2 + 14 -3 = -1 · (4 · (-5) – (-4) · (-3)) = 32
-4 -5
А22 = (-1)2 + 2 -5 -3 = 1 · ((-5) · (-5) – (-3) · (-3)) = 16
-3 -5
А23 = (-1)2 + 3 -5 4 = -1 · ((-5) · (-4) – (-3) · 4) = -32
-3 -4
А31 = (-1)3 + 1 4 -3 = 1 · (4 · (-2) – (-5) · (-3)) = -23
-5 -2
А32 = (-1)3 + 2 -5 -3 = -1 · ((-5) · (-2) – 6 · (-3)) = -28
6 -2
А33 = (-1)3 + 3 -5 4 = 1 · ((-5) · (-5) – 6 · 4) = -1
6 -5
А11 А21 А13 17 32 -23
Обратная матрица: В-1 = 1/D A12 A22 А32 = -1/176 36 16 -28 =
A13 A23 А33 -39 -32 1
-17/176 2/11 -23/176
= -9/44 1/11 -7/44
-39/176 -2/11 1/176
-7/111 -22/111 1/37 -275 61 -217 17/176 2/11 -23/176
Х = -4/37 -2/37 7/37 · 311 2 169 · 9/44 1/11 -7/44 =
6/37 3/37 8/37 48 46 104 -39/176 -2/11 1/176
(1925 – 6842 + 144) / 111 (-427 – 44 + 138)/111 (1519 – 3718 + 312)/111
= (1100 – 622 + 336) / 37 (-244 – 4 + 322)/37 (868 – 388 + 728)/37 ·
(-1650 + 533 + 384) / 37 (366 + 6 + 368)/37 (-1302 + 507 + 832)/37
17/176 2/11 -23/176 -4743/111 -333/111 -1887/111
· 9/44 1/11 -7/44 = 814/37 74/37 1258/37 ·
-39/176 -2/11 7/176 -333/37 740/37 37/37
17/176 2/11 -23/176 -43 -3 -17 17/176 2/11 -23/176
· 9/44 1/11 -7/44 = 22 2 34 · 9/44 1/11 -7/44 =
-39/176 -2/11 1/176 -9 20 1 -39/176 -2/11 1/176
(-731 – 108 + 663)/176 (-86 – 3 + 34)/11 (989 + 84 – 17)/176
= (374 + 12 – 1326)/176 (44 + 2 – 68)/11 (-506 – 56 + 34)/176 =
(-153 + 720 – 390/176 (-18 + 20 – 2)/11 (207 – 560 + 1)/176
-176/176 -55/11 1056/176 -1 -5 6
= -880/176 -22/11 -528/176 = -5 -2 -3
528/176 0/11 -352/176 3 0 -2
-1 -5 6
Ответ: Х = -5 -2 -3
3 0 -2