Введение

Карл Фридрих Гаусс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804–1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем.

Теорема Гаусса (интегральная форма)

Теорема Гаусса - одна из важнейших теорем электростатики. Она соответствует закону Кулона и принципу суперпозиции - сила, действующая на заряд, есть векторная сумма сил Кулона, действующих со стороны всех прочих зарядов. В формуле q1, q2 - заряды взаимодействующих частиц, R - расстояние между ними, - диэлектрическая постоянная

Теорема Гаусса формулируется и записывается тремя способами (интегральная форма):

1.Поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

где - поверхностный интеграл 1-го рода, - элемент поверхности.

2.Учитывая связь индукции и напряженности электрического поля, для однородной и изотропной среды

3.Если внутри поверхности находятся не только свободные но и связанные заряды (например, определяющие поляризацию), то

Скалярное произведение , а вычисление поверхностного интеграла, когда поверхность S, в общем виде незамкнутая, задана явным уравнением Z=Z(x;y), осуществляется сведением его к двойному по поверхности Д, которая является проекцией поверхности S на плоскость xoy: .

Поток электрического поля, разработка теории и понятий

Элемент произвольной поверхности можно представить как вектор DS, численно равный площади элемента поверхности DS и направленный по нормали к поверхности. По определению потоком электрического поля через элемент поверхности DS называется скалярное произведение вектора напряженности поля на вектор DS.

Поток электрического поля равен числу силовых линий, проходящих через площадку DS.

Понятие потока вектоpа Е связано с понятием повеpхности. Потоком вектоpа Е называется число силовых линий поля, пеpесекающих данную повеpхность. Найдем аналитическое выpажение для потока Е (NE). Для этой цели pассмотpим наиболее пpостой частный случай. Пpедставим плоскую площадку в одноpодном электpическом поле (pис. 4.1, a), оpиентиpованную пеpпендикуляpно к силовым линиям поля.

Рис. 4.1.

Чеpез единицу площади пpоходит Е линий. Если площадь площадки S, то ее пеpесекает ЕS линий. Допустим тепеpь, что площадка наклонена к линиям поля и ноpмаль к площадке n составляет с напpавлением вектоpа Е угол a (pис. 4.1,б). Пpи этом, очевидно, поток NE чеpез площадку будет pавен ES cos a.

Обpатимся к общему случаю. На pис. 4.2 изобpажена пpоизвольная повеpхность S в электpическом поле.

Рис. 4.2.

Мысленно pазобьем повеpхность на элементаpные (бесконечно малые) пло-щадки. Чеpез каждую площадку dS согласно выведенной фоpмуле пpоходит EdS cos a линий (в бесконечно малой области поле можно считать одноpодным). Полный поток напpяженности поля будет найден путем суммиpования таких выражений по всем площадкам поверхности. Но суммиpование по бесконечно малым элементам пpедставляет интегрирование.

Следовательно, поток напpяженности поля NE сквозь повеpхность S выpажается следующим повеpхностным интегpалом:

(4.1)

Иногда целесообpазно элементаpную площадь dS pассматpивать как вектоp, модуль котоpого pавен dS, а напpавление совпадает с напpавлением ноpмали к площадке. Если ввести такой вектоp, то пpоизведение EdS cos a можно pассмат-pивать как скаляpное пpоизведение вектоpа напpяженности Е на вектоp dS, т.е. как EdS. Тогда поток вектоpа напpяженности поля Е может быть пpедставлен фоpмулой

(4.2)

Рассмотpим один важный частный случай, необходимый в дальнейшем пpи pешении задач. Допустим, что повеpхность и поле таковы, что выполняются два условия: 1) E постоянно на всей повеpхности и 2) , cos a т.е. во всех точках повеpхности поле ноpмально к повеpхности. В этом случае, очевидно, имеем

(4.3)

Таким обpазом, пpи выполнении двух вышеназванных условий поток вектоpа Е сквозь повеpхность выpажается очень пpостой фоpмулой - пpоизведением модуля вектоpа Е на площадь повеpхности: NE = ES.

С понятием потока в теоpии электpичества связана важная теоpема - теоpема Гаусса, позволяющая очень пpосто находить потоки вектоpа Е сквозь замкнутые повеpхности.

Потоку пpиписывается знак. Дадим опpеделение знака потока для случая, когда повеpхность замкнута. Если силовые линии поля "выходят" из замкнутой повеpхности, то они обpазуют положительный поток, если же они "входят" в повеpхность, то они создают отpицательный поток. Как известно, развитие теории электромагнетизма прошло этапы:

- стихийного накопления фактов;

- опытного накопления фактов;

- попыток создания физических теорий, объясняющих электромагнетизм;

- попыток создания физических и математических теорий, описывающих электромагнитные явления и позволяющих создать методики их расчета;

- обобщения физических и математических теорий электромагнетизма и создания единой математической теории;

- экспериментальных исследований, имеющих целью проверку и подтверждение положений общей теории;

- внедрения полученных результатов в широкую практику.

На базе многочисленных опытных данных были наработаны методы расчетов, позволившие точно рассчитать силовые и слаботочные устройства и агрегаты, линии передачи и электрические цепи. А в ХХ столетии на базе полученных к этому времени знаний были созданы важнейшие отрасли современной промышленности – электромашиностроение, радиотехника и электроника, без которых немыслимо существование современного человечества. Положение о том, что «нет ничего более прикладного, чем хорошая теория», полностью себя оправдало на практике.

Современной теории электромагнетизма предшествовал длительный период накопления знаний об электричестве и магнетизме. В ХVII и XVIII вв. исследованию природы электричества были посвящены труды М.В.Ломоносова, Г.В. Рихмана, Б.Франклина, Ш.О.Кулона, П. Дивиша и других ученых. Решающее значение имело создание А.Вольтом первого источника непрерывного тока. В первой трети ХIХ столетия были проведены многочисленные исследования химических, тепловых, световых и магнитных явлений, вызываемых электрическим током (труды В.В.Петрова, Х.К.Эрстеда, Д.Ф. Араго, М.Фарадея, Дж. Генри, А.М.Ампера, Г.С.Ома и других). Во второй половине XIX в. эти работы получили многочисленные практические внедрения во многих разработках, нашедших широкое применение в промышленности.

Математическая теория электричества и магнетизма была создана и практически завершена во второй половине XIX в. Ее апофеозом явился знаменитый «Трактат об электричестве и магнетизме», написанный Максвеллом в 1873 г. В нем Максвеллу удалось обобщить результаты работ ряда ученых таких как В.Томсон, М.Фарадей, Г.Гельмгольц, Кирхгоф, Ранкин, Кулон, Ампер, Риман, Нейман, Эрстед, Ленц и многих других (Стокс, Вебер, Челлис, Физо, Верде, Рив, Бир, Холл, Квинке, Грин, Дженкин, Лагранж, Феличи, Фуко, Кноблаух, Пулье) и дополнить достижения исследователей электромагнитных явлений того времени теорией электромагнитного поля. В «Трактате» Максвеллом были окончательно оформлены знаменитые уравнения электродинамики, получившие его имя. В таком виде теория электромагнетизма сохранилась до наших дней практически без изменений. Трактат Максвелла явился основой всех последующих учебников по электротехнике и электродинамике.

Пожалуй, не меньшее значение имела и работа Г.Лоренца «Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения», написанная им в 1909 г.

Работы Максвелла и, в частности, его уравнения электромагнитного поля оказали решающее влияние на развитие уже в ХХ столетии таких областей науки, как электротехника, электродинамика, радиотехника, электроника и даже оптика. Из этих знаменитых уравнений вытекало, что могут существовать электромагнитные волны, распространяющиеся в пространстве со скоростью света. Это предсказание было сделано Максвеллом в работе «О физических силовых линиях» (1861–1862). В этой работе Максвелл, пользуясь моделью некоего вихревого механизма в эфире, впервые приходит к своим знаменитым уравнениям и вводит понятие тока смещения. Максвелл совершенно определенно становится на позиции Фарадея, связанные с признанием реальности физического состояния среды, представляемого силовыми линиями. Концепция близкодействия сложилась у него окончательно, и дальнейшей его задачей стало отразить структуру поля в моделях и уравнениях, что и было им выполнено в 1873 г. в «Трактате об электричестве и магнетизме».

Исходя из уравнений Максвелла, основанных на представлениях о вихревых движениях эфира, немецкий физик Генрих Герц в 1886–1889 гг. с помощью изобретенного им вибратора экспериментально доказал существование электромагнитных волн и исследовал их свойства (отражение от зеркал, преломление в призмах и т.п.). Герц подтвердил все основные выводы максвелловской теории о свойствах электромагнитных волн.

После опубликования в 1888 г. работ Герца по электродинамике русский физик и изобретатель А.С.Попов в 1895 г. создал необходимую для передачи и приема электромагнитных волн аппаратуру, чем положил начало радиотехнике.

Основными понятиями современной классической теории электромагнетизма являются понятие электрического заряда q и понятие электромагнитного поля. Электрические заряды (движущиеся и неподвижные) формируют в пространстве электромагнитное поле, которое проявляется в силовом воздействии на материальные тела, обладающие электрическим зарядом.

Электрический заряд является скалярной величиной и может иметь положительное или отрицательное значение. Величина электрического заряда является инвариантом относительно преобразований Лоренца: во всех инерциальных системах отсчета эта величина одинакова (масса тела этим свойством не обладает).

В некоторых физических явлениях приходится учитывать "квантованность" электрического заряда, то есть учитывать, что электрический заряд тела состоит из конечного числа мельчайших элементарных зарядов. Элементарный заряд численно равняется заряду электрона

Электромагнитное поле существует как объективная реальность и обладает такими атрибутами как масса, импульс и энергия. Электромагнитное поле может превращаться в вещество – рождение электронно-позитронных пар - и может порождаться веществом - аннигиляция электронно-позитронной пары.

Силовое воздействие на материальную точку можно определить, используя второй закон Ньютона:

(4.4)

где m - масса, - ускорение материальной точки.

Соотношения кинематики

(4.5)

где - скорость, - радиус-вектор материальной точки, позволяют по наблюдениям закона движения материальной точки определить величину в уравнении (4.4).

Обобщением совокупности известных опытных фактов является выражение для обобщенной силы Лоренца:

(4.6)

Здесь - сила, действующая на материальную точку с зарядом , - напряженность электрического поля, - индукция магнитного поля. Силовые характеристики электромагнитного поля и - должны быть определены в каждой точке пространства и могут зависеть от времени:

(4.7)

В соотношении (4.6) подразумевается, что величины и вычисляются для фиксированного момента времени в точке расположения электрического заряда . При этом напряженность электрического поля и индукция магнитного поля представляют собой составляющие электромагнитного поля, внешнего по отношению к заряду . Смысл сказанного состоит в том, что предполагается, что электромагнитное поле, создаваемое самим зарядом , на заряд не действует. Другими словами говоря, поле и поле в соотношении (4.6) созданы другими зарядами, неподвижными или движущимися. Из соотношения (4.6) следует, что напряженность электрического поля - это та часть (составляющая) электромагнитного поля, которая связана с местонахождением заряда, в то время как индукция магнитного поля связана со скоростью движения электрического заряда.

Из сказанного выше следует, что пространственные и временные изменения электрического поля и магнитного поля должны быть согласованы между собой, должны учитывать распределение и движение электрических зарядов и, наверное, учитывать электромагнитные свойства среды, в которой рассматривается описываемое явление. Действительно, существует замкнутая система уравнений электродинамики - система уравнений Максвелла.

Следует заметить, что местоположение и скорость материальной точки в двух различных инерциальных системах отсчета, естественно, различны, поэтому деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет условный характер, хотя и является удобным приемом при проведении практических расчетов.

%MCEPASTEBIN%