Через массы m = 0,1 кг, подвешенный на нити l = 0,4 м, в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, то есть описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол £ = 30º. Определить скорость груза и натяжение нити.
Дано: m = 0,1 кг; l = 0,4 м; £ = 30º.
Решение.
На груз массой m действует сила тяжести и сила натяжения нити , которая имеет вертикальную и горизонтальную составляющие, равные по величине Fsin£ и Fcos£ соответственно. В вертикальном направлении частица не перемещается, поэтому ускорение равно 0, и, следовательно
ΣFiy = 0; Fcos£ - mg = 0 (1)
В горизонтальном направлении действует только одна сила, равная по величине Fsin£, направленная к центру окружности и сообщающая частице ускорение, равное v2/r:
Σ = Fix = 0; Fsin£ = mv2/r (2)
Из (1) находим v =
[F] = = Н
Из (2) находим v = , учтя r = l sin£ = 0,4 sin30º = 0,4 · 0,5 = 0,2 м
V =
[v]
Ответ: v = 3,62 м/с; F = 1,32 H.
Задача Д 3.18.
Тележка начинает движение из состояния покоя под действием момента М, приложенного к передним колесам. Масса тележки без колес равна m, масса каждого из четырех колес радиусом r равнаm, коэффициент трения качения δ. Определим ускорение тележки, считая колеса однородными дисками.
Дано: m1; m1 = m2 = m3 = m4 – масса каждого колеса; М; δ = f.
а- ?
Решение.
К механической системе, состоящей из корпуса (1) и четырех колес, каждого массой m и радиусом r (однородные диски) применим теорему об изменении кинетической энергии по формуле
Т – Т0 = (1)
Определим кинетическую энергию системы. Изображаем внешние силы, приложенные к тележке и 4 - силы тяжести,2 и 2 - нормальные силы реакций, смещенные относительно центров тяжести колес в сторону движения на величину коэффициента трения качения f1; 2 и 2 - силы трения колес, направленные в сторону, противоположную движению. Внутренние силы не изображаем, считая тележку неизменяемой системой и пренебрегаем силами внутреннего трения. Следовательно, сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю.
Тогда (1) примет вид Т2 – Т1 = (2)
Сила работ всех внешних сил системы:
точки касания (3)
Коэффициент 4 соответствует числу колес.
Так как разность ∆h перемещения точек приложения сил и 4 равна нулю, то
А () = 4А ( = 0 (4)
Кинетическую энергию каждого диска (колеса) определяем по формуле:
Т = (5)
Кинетическую энергию рамы, движущейся поступательно со скоростью v
Tp = P1 v2/2g (6)
Модули скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скорости:
V = 2vc (7)
Кинетическая энергия всей механической системы, т. е. рамы и четырех колес (дисков)
Т – 4g + Tp = 1/4g (3P1 + 4P2) (8)
Рама совершает поступательное движение, поэтому
Т1 = ½ Р1/g v2 (9)
Колеса совершают плоское движение, поэтому
4Т(2)2 = 4 (1/2 P2/g v2c + ½ Jc ω2); (10)
так как vc = v, Jc = P2/g ρ2, ω = v/r, то формула (10) примет вид
4Т(2)2 = 2 Р2/g (1 + ρ2/r2) v2 (11)
Находим кинетическую энергию тележки в начальном положении:
Т1 = v2/2g [P1 + 4P2 (1 + ρ2/r2)] (12)
T = 1/8 v2g (3P1 + 4P2)
Аналогично T0 = 1/8 v2g (3P1 + 4P2)
Определяем работу внешних сил. На систему действуют внешние силы: Р1 = Р2 = Р3 = Р4 = Р5, нормальные реакции R1 и R2 неподвижной плоскости и силы трения скольжения F1тр; F2тр; F3тр; F4тр.
Работа сил тяжести на горизонтальном перемещении равна нулю. Работа идеальных реакций и сил трения, приложенных в мгновенных центрах скоростей колес, равна нулю. Сумма работ всех внешних сил содержит только работу.
Подставляя значения ΣАek, получим (3P1 + 4P2) = Mφ.
Продеферинцировав дважды это уравнение, получим
(3P1 + 4P2) = M;
3P1 + 4P2 = 8gM· £;
£ =
Ответ: £ = .
Задача Д 6.18.
Тонкие однородные стержни АВ и ДЕ массами m, на концах которых закреплены точечные грузы В и Е тоже массами m, вращаются вокруг неподвижной оси О1 О2. Оба стержня перпендикулярны к оси вращения, причем АВ ║О1у; ДЕ ║ О2х. Даны размеры О1Д = ДА = АО2 = b; АВ = ДЕ = l. Определим реакции подпятник аи подшипника.
Дано: АВ ║О1у; ДЕ ║ О2х; О1Д = ДА = АО2 = b; АВ = ДЕ = l.
х01 - ? у01 - ? Z01 - ? х02 - ? у02 - ?
Решение.
По принципу Даламбера внешние силы , , , , и силы инерции и образуют уравновешенную систему сил. Составим уравнения равновесия:
Σ х = 0; х01 + FuE + x02 = 0; (1)
Σ y = 0; y01 + FuB + y02 = 0; (2)
Σz = 0; x01 = 0 (3)
Σmx = 0; y01 · 1,5в - FuB · 0,5 в – у02 · 1,5 в = 0 (4)
Σmу = 0; х01 · 1,5в - FuB · 0,5 в – х02 · 1,5 в = 0 (5)
Σmz = 0; 0= 0 (6)
Из (4) у01 =
Из (2) = = ;
Gy02 = -4; y02 = = -2/3 ;
Из (5) = x01 =
Из (1) = + 2/3
Из (3) z01 = 0;
6x02 = ; x02 =
= + 33y02 = 0
3y02 = ; y02 =
y01 + - 2/3 = 0; 3y01 = ; y01 =
Ответ = x01 = y01 = ; z01 = 0;
x02 = ; y02 =
Знак минус указывает, что силы х01, у01 и х02 и у02 – направлены противоположно показанным на рисунке.
Задача Д 8.18.
Составная конструкция находится в состоянии равновесия. Определите значение Р.
Дано: £; Q.
P - ?
Решение.
Пренебрегаем сопротивлением качению (принимаем наклонную плоскость гладкой), то плоскость для катка 1 будет идеальной связью. Сообщаем системе возможное перемещение, получаем:ΣδАаR = 0.
Запишем уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений
Рsin£ · δ SB – Q · δ SA = 0,
где δ SB – возможное перемещение катка, совпадающее с перемещением точки В.
Точка касания К является мгновенным центром скоростей катка. Значит vB = 2vc и δSB = 2δSc, так как δSB = vB dt, δSA = vBdt.
Psin£ δSc – QδSc = 0;
Откуда
Р =
Ответ: Р = .