Задание 1.
Для заданных двух множеств найти произведения А х В и В х А, изобразить их графически и найти пересечение
А = {-1,-2}, В = {-1,-2,-3,-4}
Решение.
А х В = {<-1,-1>, <-1,-2>, <-1,-3>, <-1,-4>, <-2,-1>, <-2,-2>, <-2,-3>, <-1,-4>}
В х А = {<-1,-1>, <-1,-2>, <-2,-1>, <-2,-2>, <-3,-1>, <-3,-2>, <-4,-1>, <-4,-2>}
|
А х В |
|
В х А |
А х В ∩ В х А = {<-1,-1>, <-1,-2>, <-2,-1>, <-2,-2>}
Задание 2.
Вычислить предел функции с использованием основных теорем
Решение.
Задание 3.
Раскрытие неопределенности вида 0/0 и ∞/∞ с использованием правила Лопиталя
Решение.
Задание 4.
Найти производную простой функции у =
Решение.
у =
Задание 5.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
у = -9х3 + 13,5х2 + 4 х [-1.1; 2.6]
Решение.
у = -9х3 + 13,5х2 + 4
у` = -27х2 + 27
-27х2 + 27 = 0 х2 = 1 х1,2 = ±1
- + - х
-1 +1
min max
у(-1) = -(-1)3 + 13,5(-1)2 + 4 = 26,5
у(+1) = -9(1)3 + 13,5(1)2 + 4 = 8,5
у(-1,1) = -9(-1,1)3 + 13,5(-1,1)2 + 4 = 32,314
у(2,6) = -9(2,6)3 + 13,5(2,6)2 + 4 = -62,924
унаим = -62,924; унаиб = 32,314
Задание 6.
Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки
Решение.
= 1/8 = 1/8 2√t + c = 1/4√t + c = ¼
Задание 7.
Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби
Решение.
Задание 8.
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям
Решение.
(ex · sin x + ex cos x)/π/20 -
Задание 9.
По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить длины сторон, углы и площадь его А (-1; 1; -3); В (3; -5; 3); С (1; 2; -1)
Решение.
В = {4; -6; 6}; = {4; 6; -6}
= {2; -1; 2}; = {-2; -1; -2}
А С = {-2; -7; -4}; = {2; -7; 4}
Найдем площадь треугольника через векторное произведение
S∆ = ½
x = = -18
Найдем длины сторон
=
Углы находим через скалярное произведение векторов
А = arccos
B = arccos
С = π - arccos
Задание 10.
Найти для заданной матрицы А присоединенную и обратную А-1 матрицы
Решение.
А = АТ =
detА =
A-1 =
Задание 11.
Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц А и В
А = В =
Решение.
АВ = =
ВА = =
Задание 12.
Найти произведение АВ прямоугольных матриц
А = В =
Решение.
АВ = =
Задание 13.
Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме
Решение.
Метод Крамера
∆ =
∆х =
∆у =
∆z =
x = ∆x/∆ = 8-5= -8/5
y = ∆y/∆ = -3/-5 = +3/5
z = ∆z/∆ = -16/-5 = 16/5
Метод Гаусса
→ z = 16/5
y – 3 · 16/5 = -9→ y = 48/5 – 9 = 48/5 – 45/5 = 3/5
x – 3/5 + 16/5 = 1 → x = -13/5 + 1 = -13/5 + 5/5 = -8/5
Решение в матричной форме
А · Х = В → А-1 · А · Х = А-1 · В1 → Е · Х = А-1 · В → Х = А-1 · В
det A = -5 ≠ 0 обратная матрица А-1 существует, ищем решение
АТ =
х = -1/5
x = -8/5; y = 3/5; z = 16/5
Задание 14.
Определить число элементарных событий и простых соединений
В урне находятся жетоны с номерами от 1 до 100. Сколько существует способов извлечь наудачу жетон, не содержащий цифру 3?
Решение.
Жетонов, содержащих цифру 3 – 19 штук (3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93).
Способов извлечь жетон, не содержащий цифру 3 100 – 19 = 81. Ответ: 81.
Задание 15.
Вычислить вероятность события по классической схеме
Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин будет одинаково.
Решение.
p = m/n; n = - количество способов создать группу из 20 человек по 10.
m = - количество способов создать группу из 10 человек, где будут 5 мужчин и 5 женщин.
- количество способов отобрать группу из 10 мужчин по 5
- количество способов отобрать группу из 10 женщин по 5
р =
Задание 16.
Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения
Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на вопросы соответственно, равны 0,9; 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.
Решение.
Р1 = 0,9; Р2 = 0,9; Р3 = 0,8
Вероятность того, что студент ответит на все три вопроса равна произведению вероятностей Р = Р1 · Р2 · Р3 = 0,9 · 0,9 · 0,8 = 0,648
Задание 17.
Вычисление вероятности повторных независимых испытаний
Определить вероятность того, что в семье, имеющих 5 детей, три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.
Решение.
Вероятность рождения девочки р = 0,5, тогда q = 1 – р = 0,5 (вероятность рождения мальчика). Решение находим по формуле Бернулли
Рn (k) = Ckn · pk · qn-k
P5 (3) = C35 · 0.5 3 · 0,52 =
Задание 18.
Найти законы распределения случайных величинZ=X–YиU=X·Y, если законы распределения случайных величин Х и У имеют вид
Х: Y:
|
хi |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
pi |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
|
yi |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
pi |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
Решение.
Чтобы составить распределения величины Z = X – Y, найдем все возможные значения Z и их вероятности. Возможные значения Z есть разность возможного значения Х со всеми возможными значениями У:
Z1 = 2 – (-1) = 3; Z2 = 2 – 0 = 2… Z8 = 4 – 2 = 2…
Вероятности этих возможных значений находим по теореме умножения как вероятности совместного наступления события хi и yi. Для Z1 вероятность будет р (z1) = p (x1) · p (y1) = 0,4 · 0,5 = 0,2 и т. д. Искомое распределение представлено в таблице. Вероятности найдены по теореме сложения, т. е. вероятность того, что наступит событие Z = 2 равно сумме вероятностей Р (Z = 2) = P (Z2) + P (Z8) = 0,12 + 0,02 = 0,14
Z1 = 2 + 1 = 3 P (Z1) = 0,4 · 0,5 = 0,2
Z2 = 2 – 0 = 2 P (Z2) = 0,4 · 0,3 = 0,12
Z3 = 2 – 1 = 1 P (Z3) = 0,4 · 0,1 = 0,04
Z4 = 2 – 2 = 0 P (Z4) = 0,4 · 0,1 = 0,04
Z5 = 4 + 1 = 5 P (Z5) = 0,2 · 0,5 = 0,1
Z6 = 4 – 0 = 4 P (Z6) = 0,2 · 0,3 = 0,06
Z7 = 4 - 1 = 3 P (Z7) = 0,2 · 0,1 = 0,02
Z8 = 4 – 2 = 2 P (Z8) = 0,2 · 0,1 = 0,02
Z9 = 6 + 1 = 7 P (Z9) = 0,1 · 0,5 = 0,05
Z10 = 6 – 0 = 6 P (Z10) = 0,1 · 0,3 = 0,03
Z11 = 6 – 1 = 5 P (Z11) = 0,1 · 0,1 = 0,01
Z12 = 6 – 2 = 4 P (Z12) = 0,1 · 0,1 = 0,01
Z13 = 8 + 1 = 9 P (Z13) = 0,3 · 0,5 = 0,15
Z14 = 8 – 0 = 8 P (Z14) = 0,3 · 0,3 = 0,09
Z15 = 8 – 1 = 7 P (Z15) = 0,3 · 0,1 = 0,03
Z16 = 8 – 2 = 6 P (Z16) = 0,3 · 0,1 = 0,03
|
Z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
P |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,22 |
0,07 |
0,11 |
0,06 |
0,08 |
0,09 |
0,15 |
Контроль: 0,04 + 0,04 + 0,14 + 0,22 + 0,07 + 0,11 + 0,06 + 0,08 + 0,09 + 0,14 = 1
Чтобы составить распределение величины U = X · Y аналогично найдем все возможные значения U и Х вероятности.
Вероятность того, что U = 0 P (U =0) P(U2) + P (U6) + P (U10) + P (U14) = 0,12 + 0,06 + 0,03 + 0,09 = 0,3
U1 = 2 · (-1) = -2 P (U1) = 0,4 · 0,5 = 0,2
U2 = 2 · 0 = 0 P (U2) = 0,4 · 0,3 = 0,12
U3 = 2 · 1 = 2 P (U3) = 0,4 · 0,1 = 0,04
U4 = 2 · 2 = 4 P (U4) = 0,4 · 0,1 = 0,04
U5 = 4 · (-1) = -4 P (U5) = 0,2 · 0,5 = 0,1
U6 = 4 · 0 = 0 P (U6) = 0,2 · 0,3 = 0,06
U7 = 4 · 1 = 4 P (U7) = 0,2 · 0,1 = 0,02
U8 = 4 · 2 = 8 P (U8) = 0,2 · 0,1 = 0,02
U9 = 6 · (-1) = -6 P (U9) = 0,1 · 0,5 = 0,05
U10 = 6 · 0 = 0 P (U10) = 0,1 · 0,3 = 0,03
U11 = 6 · 1 = 6 P (U11) = 0,1 · 0,1 = 0,01
U12 = 6 · 2 = 12 P (U12) = 0,1 · 0,1 = 0,01
U13 = 8 · (-1) = -8 P (U13) = 0,3 · 0,5 = 0,15
U14 = 8 · 0 = 0 P (U14) = 0,3 · 0,3 = 0,09
U15 = 8 · 1 = 8 P (U15) = 0,3 · 0,1 = 0,03
U16 = 8 · 2 = 16 P (U16) = 0,3 · 0,1 = 0,03
|
Z |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
16 |
|
P |
0,15 |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,04 |
0,06 |
0,01 |
0,05 |
0,01 |
0,03 |
Контроль: 0,15 + 0,05 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,04 + 0,06 + 0,01 + 0,05 + 0,01 + 0,03 = 1
Задание 19.
Вычислить основные характеристики вариационного ряда
|
хi |
0,88 |
1,04 |
1,20 |
1,36 |
1,52 |
Итого |
|
mi |
9 |
20 |
14 |
12 |
5 |
60 |
Решение.
|
хi |
0,88 |
1,04 |
1,20 |
1,36 |
1,52 |
|
|
mi |
9 |
20 |
14 |
12 |
5 |
60 |
- Математическое ожидание
М(Х) = , где m =
M(X) =
- Дисперсия
D (x) =
- Среднеквадратичное отклонение σ(х) = √Д(х) = √0,03 = 0,173
- Мода случайной величины (М) – ее наиболее вероятное значение:
Задание 20.
Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных
|
20.12 |
Х |
86 |
56 |
84 |
72 |
47 |
17 |
43 |
19 |
|
У |
87 |
47 |
74 |
86 |
38 |
15 |
41 |
18 |
Решение.
Для построения уравнений линейной регрессии вычислим
- среднее арифметическое Х
- среднее арифметическое У
σх – среднеквадратичное отклонение Х
σу – среднеквадратичное отклонение У
Сху – коррекционный момент (ковариация)
Чху – коэффициент корреляции
Линейное приближение от х дается формулой
Линейное приближение от у дается формулой Составим расчетную таблицу
|
i |
x |
y |
x2 |
y2 |
xy |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
86 56 84 72 47 17 43 19 |
87 47 74 86 38 15 41 18 |
7396 3136 7056 5184 2209 289 1849 361 |
7569 2209 5476 7396 1444 225 1681 324 |
7482 2632 6216 6192 1786 255 1763 342 |
|
Σ |
424 |
406 |
27480 |
26324 |
26668 |
σx = √626 = 25,02
σy = √714,94 = 26,74
чху =
Уравнения линий регрессии
= 50,75 + 1,028 (х – 53)
= 1,028х – 3,734
= 53 + 0,9 (у – 50,75)
= 0,9у – 7,325
Теснота связи оценивается коэффициентом корреляции чху = 0,9622
у = 0,9у – 7,325
90
80 = 1,028х – 3,734
70
60
50 50,75
40
30
20
10 53
10 20 30 40 50 60 70 80 90 х