Задание 1. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. Известны расходные коэффициенты <![if !vml]><![endif]> (прямые затраты) единиц продукции <![if !vml]><![endif]>–го цеха, используемые как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции <![if !vml]><![endif]>–го цеха, а также количество единиц <![if !vml]><![endif]> продукции <![if !vml]><![endif]>–го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).
|
Матрица коэффициентов прямых затрат |
Конечный продукт |
|
<![if !vml]><![endif]> |
<![if !vml]><![endif]> |
Определить:
- коэффициенты полных затрат;
- валовой выпуск (план) для каждого цеха;
- производственную программу цехов;
- объем валового выпуска, если конечное потребление продукции каждого цеха увеличится на 50, 25, 40 единиц соответственно.
Решение
x – Ax = y - балансовое уравнение
x(Е – A) = y
Е – единичная матрица
Е – A = S
x*S = y S ® S-1
x = S-1 * y
1) Найдемматрицу E - A = S
(E – A) = <![if !vml]><![endif]>
2) Находим обратную матрицу:
а) ST – транспонированная матрица
<![if !vml]><![endif]>
б) По транспонированной матрице ST находим присоединенную матрицу S*:
S* =<![if !vml]><![endif]>
в) Находим определитель матрицы S:
D = <![if !vml]><![endif]> = 0,85*0,85*0,88 + (-0,11)*(-0,36)*(-0,21) + 0 – (-0,15)*0,85*(-0,11) – 0,85*(-0,28)*(-0,21) = 0,563
г) находим обратную матрицу S-1
S-1 = 1/D* S* = 1/0,563* <![if !vml]><![endif]> =
= <![if !vml]><![endif]>
2) валовой выпуск для каждого цеха определим из равенства:
X = (E – A)-1Y
Получаем:
Х = <![if !vml]><![endif]>
Следовательно, х1 = 142, х2 = 295 и х3 = 231.
3) производственную программу цехов определим из соотношения:
xij = aijxj (j = 1, 2, 3; i = 1, 2, 3).
<![if !vml]><![endif]>
В результате получим следующую таблицу (с округлением):
|
Цеха |
Внутрипроизводственное потребление xij |
Итого åxij |
Конечный продукт yi |
Валовой выпуск xi |
||
|
I |
II |
III |
||||
|
I |
21 |
0 |
26 |
46 |
95 |
142 |
|
II |
51 |
44 |
65 |
160 |
135 |
295 |
|
III |
21 |
62 |
28 |
111 |
120 |
231 |
- объем валового выпуска, если конечное потребление продукции каждого цеха увеличится на 50, 25, 40 единиц соответственно.
Конечный продукт составит:
Y* =<![if !vml]><![endif]>+ <![if !vml]><![endif]>= <![if !vml]><![endif]>
валовой выпуск составит:
Х* = <![if !vml]><![endif]>
Следовательно, х*1 = 210, х*2 = 379 х*3 = 308.
Задание 2.
При цене 100 руб. покупают 30 единиц некоторого товара, а при цене 140 руб. – только 20 единиц. Поставщик продает 8 единиц товара при цене 150 руб. и 15 единиц при цене 255 руб. Предполагая линейным закон спроса и закон предложения, найти точку рыночного равновесия. Построить графики.
Решение
Составим функцию спроса, которую будем искать в виде: <![if !vml]><![endif]>.
х – количество покупаемого товара (единиц);
р – цена товара.
По условию задачи составим систему:
<![if !vml]><![endif]>
Закон спроса: <![if !vml]><![endif]> руб.
Найдем функцию предложения в виде: <![if !vml]><![endif]>. По условию задачи составим систему:
<![if !vml]><![endif]>
Закон предложения: <![if !vml]><![endif]> руб.
Найдем точку рыночного равновесия, т.е. точку, в которой спрос равен предложению. Для этого приравняем правую часть функции спроса к правой части функции предложения. Разрешим полученное уравнение:
<![if !vml]><![endif]>
Точка рыночного равновесия – 10 единиц.
Покажем это на графике:
|
Матрица коэффициентов прямых затрат |
Конечный продукт |
|
<![if !vml]><![endif]> |
<![if !vml]><![endif]> |
Ответ: Спрос <![if !vml]><![endif]> руб., предложение <![if !vml]><![endif]> руб., <![if !vml]><![endif]>единиц - точка рыночного равновесия.
Задание 3
Цена на некоторый товар составляет 250 руб. Издержки производства этого товара равны <![if !vml]><![endif]>, где x – число единиц произведенного товара. Найти максимальное значение прибыли.
Решение
Составим функцию дохода:
<![if !vml]><![endif]>
R(x) – доход, руб.
р = 250 руб. - цена
х - количество товара, ед.
Функция прибыли:
<![if !vml]><![endif]>
P(x) - прибыль
C(x) - издержки
Чтобы найти, при каком объеме выпуска продукции прибыль максимальная, надо исследовать функцию прибыли на экстремумы, в точке максимума прибыль будет максимальной.
Находим производную функции прибыли:
<![if !vml]><![endif]>
Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:
<![if !vml]><![endif]>
Производная при переходе через т. Экстремума меняет свой знак с «+» на «-», следовательно, <![if !vml]><![endif]> - максимум.
Тогда максимальная прибыль равна значению функции прибыли в точке максимума:
<![if !vml]><![endif]>руб.
Ответ: <![if !vml]><![endif]> руб.
Задание 4
Данные о спросе на некоторый товар на рынке в зависимости от его цены приведены в таблице:
|
Цена (тыс. руб) |
0,7 |
0,9 |
1,3 |
1,6 |
2,3 |
|
Предложение (тыс. шт) |
7,5 |
7,8 |
9,0 |
9,8 |
13,1 |
Сделать предположение о количестве предлагаемого товара при дальнейшем увеличении его цены еще на 100 рублей, считая закон предложения:
А) линейным
В) квадратичным
Решение
а) Найдем линейную зависимость вида y = A + B*x
Найдем неизвестные параметры А и В, используя МНК (метод наименьших квадратов).
Для этого решим систему уравнений относительно А и В:
<![if !vml]><![endif]>
По исходным данным проведем все необходимые расчеты и оформим их в таблице.
|
Матрица коэффициентов прямых затрат |
Конечный продукт |
|
<![if !vml]><![endif]> |
<![if !vml]><![endif]> |
По данным таблицы составляем систему уравнений:
<![if !vml]><![endif]>
Линейная зависимость имеет вид y = 4,6663 + 3,5101x
В) квадратичным
<![if !vml]><![endif]>
Система нормальных уравнений в общем виде:
<![if !vml]><![endif]>
|
Цена (тыс. руб) x |
0,7 |
0,9 |
1,3 |
1,6 |
2,3 |
Sx = 6,8 |
|
Спрос (тыс. шт) y |
7,5 |
7,8 |
9 |
9,8 |
13,1 |
Sy = 47,2 |
|
ху |
5,25 |
7,02 |
11,7 |
15,68 |
30,13 |
Sxy = 69,78 |
|
x2 |
0,49 |
0,81 |
1,69 |
2,56 |
5,29 |
Sx2 = 10,84 |
|
x3 |
0,343 |
0,729 |
2,197 |
4,096 |
12,167 |
Sx3 = 19,532 |
|
x4 |
0,2401 |
0,6561 |
2,8561 |
6,5536 |
27,984 |
Sx4 = 38,29 |
|
x2у |
3,675 |
6,318 |
15,21 |
25,088 |
69,299 |
Sx2y = 119,59 |
<![if !vml]><![endif]>
Квадратичная зависимость имеет вид:
y = 6,9425 - 0,0499x + 1,1833x2
Сделаем предположение о количестве предлагаемого товара при дальнейшем увеличении его цены еще на 100 рублей, считая закон предложения:
х* = 2,3 + 0,1 = 2,4
А) линейным
y* = 4,6663 + 3,5101x* = 4,6663 + 3,5101*2,4= 13,091
В) квадратичным
y* = 6,9425 - 0,0499x* + 1,1833 (x*)2 = 6,9425 - 0,0499*2,4 + 1,1833*(2,4)2 = 13,639
Ответ: А) при линейном законе предложения составит: 13,091 тыс. шт
В) при квадратичном: 13,639 тыс. шт
Задание 5
Функция предельной прибыли имеет вид <![if !vml]><![endif]>. Прибыль предприятия составляет 35,8 тыс. руб., если продано 1200 изделий. Найти функцию прибыли.
Решение
Найдем функцию прибыли Р(х):
<![if !vml]><![endif]>
Проинтегрируем обе части равенства:
<![if !vml]><![endif]>
Мы получили функцию прибыли, в которой неизвестна постоянная величина С. Для ее нахождения используем начальные условия.
<![if !vml]><![endif]>
Подставляем полученное значение в уравнение прибыли:
<![if !vml]><![endif]> - функция прибыли
Ответ: <![if !vml]><![endif]> (тыс.руб.)
Задание 6
Эластичность спроса <![if !vml]><![endif]> имеет вид <![if !vml]><![endif]>. При количестве предлагаемого товара <![if !vml]><![endif]> условные единицы цена составляет <![if !vml]><![endif]> денежных единиц. Найти:
<![if !supportLists]>1. <![endif]>функцию спроса <![if !vml]><![endif]>;
<![if !supportLists]>2. <![endif]>цену товара, если предлагаемый объем увеличится и составит <![if !vml]><![endif]> условных единиц.
Решение
Получаем дифференциальное уравнение
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>.
решаем дифференциальное уравнение:
<![if !vml]><![endif]>
Интегрируем:
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>+ ln С
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
Подставляя известные значения цены и количества проданного товара, находим значение константы и получаем окончательный вид функции спроса:
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
2. найдем цену товара, если предлагаемый объем увеличится и составит <![if !vml]><![endif]> условных единиц.
<![if !vml]><![endif]>= 27,5 д.е.
Ответ: Функция спроса <![if !vml]><![endif]>, при х = 80 у.е., p = 27,5 д.е.
%MCEPASTEBIN%